Nombre polyédrique

En arithmétique géométrique, un nombre polyédrique est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polyèdre.

Cas des pyramides

Le n-ième nombre k-pyramidal est la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle P_{n}^{(k)}=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}={\frac {1}{6}}n(n 1)\left((k-2)n-(k-5)\right)}$

Cas des polyèdres réguliers

Formules

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$ où il y a ${\displaystyle n}$ points dans chaque arête extérieure du polyèdre, on a les formules :

Principe d'obtention de ces formules

On considère un polyèdre régulier à S sommets, A arêtes, et F faces k-gonales et dont les sommets sont de degré d ({k,d} est le symbole de Schläfli) : Supposons que la figure de l'étape ${\displaystyle n-1}$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape ${\displaystyle n}$ en ajoutant^,, :

• ${\displaystyle S-1}$ nouveaux points situés aux ${\displaystyle S-1}$ nouveaux sommets,

• ${\displaystyle (n-2)(A-d)}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle A-d}$ nouvelles arêtes,
• ${\displaystyle (P_{k,n}-k(n-1))(F-d)}$ nouveaux points situés à l'intérieur des ${\displaystyle F-d}$ nouvelles faces, ${\displaystyle P_{k,n}}$ étant le nombre le nombre k-gonal d'ordre ${\displaystyle n}$.

Si l'on note ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de points à l'étape ${\displaystyle n}$, on a donc ${\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=(S-1) (A-d)(n-2) (F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$.

Partant de ${\displaystyle P_{0}=0}$, on obtient donc ${\displaystyle P_{n}}$ en écrivant ${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})}$.

Avec les formules valables pour les 5 polyèdres réguliers, ${\displaystyle S={\frac {4k}{D}},A={\frac {2kd}{D}},F={\frac {4d}{D}}}$, où ${\displaystyle D=2(k d)-kd}$, on obtient ${\displaystyle P_{n 1}-P_{n}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2} {\frac {d(k-2)}{2}}n 1}$.

Cas des polyèdres réguliers tronqués

Si à chacun des S sommets de la construction précédente à l'étape ${\displaystyle 3n-2}$ on ôte une pyramide à base d'ordre d à l'étape ${\displaystyle n-1}$, on obtient les nombres polyédriques réguliers tronqués : ${\displaystyle PT_{n}=P_{3n-2}-S.P_{n-1}^{(d)}}$ où ${\displaystyle P_{n-1}^{(d)}}$ est le nombre pyramidal d-gonal d'ordre ${\displaystyle n-1}$.

Cas des polyèdres réguliers augmentés

Si à chacune des F faces de la construction des nombres polyédriques réguliers à l'étape ${\displaystyle n}$ on ajoute une pyramide à base d'ordre k à l'étape ${\displaystyle n-1}$, on obtient les nombres polyédriques réguliers augmentés: ${\displaystyle PA_{n}=P_{n} F.P_{n-1}^{(k)}}$.

Par exemple, dans le cas de l'octaèdre, on obtient les nombres "stella octangula" :${\displaystyle SO_{n}=O_{n} 8P_{n-1}^{(3)}={\frac {n(2n^{2} 1)}{3}} {\frac {4n(n^{2}-1)}{3}}=n(2n^{2}-1)}$, suite A007588 de l'OEIS.

Dans le cas du cube on obtient les nombres ${\displaystyle n^{3} 6{\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}=n(3n^{2}-3n 1)}$, égaux aux nombres prismatiques hexagonaux centrés, suite A005915 de l'OEIS.

Références

Voir aussi

• Nombre polyédrique centré
• Nombre 4-polytopique

• Arithmétique et théorie des nombres