Fonction cardinale

En mathématiques, une fonction cardinale (ou un invariant cardinal) est une fonction à valeurs dans les nombres cardinaux.

Fonctions cardinales en théorie des ensembles

La fonction cardinale la plus utilisée est celle qui à tout ensemble A associe sa cardinalité, notée |A|.
Les alephs et les beths peuvent être vues comme des fonctions cardinales définies sur les ordinaux.
Les opérations arithmétiques sur les cardinaux sont des exemples de fonctions des cardinaux (ou des couples de cardinaux) dans les cardinaux.
Les caractéristiques cardinales d'un idéal propre I de parties de X (c'est-à-dire un ensemble non vide de parties propres de X, stable par sous-ensembles et par réunions finies) sont, en supposant que I recouvre X :
- son additivité add(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion n'est pas élément de I : ${\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subset I~\wedge ~\cup {\mathcal {A}}\notin I\}.$ Ce cardinal est infini : ${\rm {add}}(I)\geq \aleph _{0}.$ Il est même supérieur ou égal à ℵ₁ si I est stable non seulement par réunions finies mais par réunions dénombrables ;
- son nombre de recouvrement cov(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion est X tout entier : ${\rm {cov}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subset I~\wedge ~\cup {\mathcal {A}}=X\}.$ Ce cardinal est supérieur ou égal au précédent : ${\rm {cov}}(I)\geq {\rm {add}}(I)~;$
- son uniformité non(I) – parfois notée aussi unif(I) – qui est la plus petite taille d'une partie de X n'appartenant pas à I : ${\rm {non}}(I)=\min\{|A|:A\subset X~\wedge ~A\notin I{\big \}}.$ Ce cardinal est, lui aussi, supérieur ou égal à l'additivité : ${\rm {non}}(I)\geq {\rm {add}}(I)~;$
- sa cofinalité cof(I), qui est la cofinalité de l'ordre partiel (I, ⊂), c'est-à-dire le plus petit cardinal d'une partie cofinale de cet ordre : ${\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subset I~\wedge ~(\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subset B)\}.$ Elle majore les deux cardinaux précédents : ${\rm {cof}}(I)\geq {\rm {non}}(I){\text{ et }}{\rm {cof}}(I)\geq {\rm {cov}}(I).$

Dans le cas où I est un idéal lié à la structure des réels, comme l'idéal des parties Lebesgue-négligeables ou celui des parties maigres, ces invariants cardinaux font partie des caractéristiques cardinales du continu (en).

Pour un ensemble préordonné (E, ≤), la définition de la cofinalité se généralise en celle du (en) dominating number 𝖉(E) : ${\mathfrak {d}}(E)=\min {\big \{}|Y|:Y\subset E~\wedge ~(\forall x\in E)(\exists y\in Y)(x\leq y)\}$ et l'on définit aussi le (en) bounding number 𝖇(E) : ${\mathfrak {b}}(E)=\min {\big \{}|Y|:Y\subset E~\wedge ~(\forall x\in E)(\exists y\in Y)(y\not \leq x){\big \}}.$
En théorie des cofinalités possibles (en), on utilise la fonction cardinale pp_κ(λ).

Fonctions cardinales en topologie

Les fonctions cardinales sont très utilisées en topologie générale, comme outils pour décrire diverses propriétés topologiques^,^,. En voici quelques exemples.

Les deux invariants cardinaux les plus simples d'un espace topologique X sont sa cardinalité |X| et celle de sa topologie, o(X) = |T_X|.
Son poids w(X) est la plus petite cardinalité d'une base de T_X. L'espace est dit à base dénombrable lorsque w(X) ≤ ℵ₀.
Son caractère χ(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout point possède une base de voisinages de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit à bases dénombrables de voisinages lorsque χ(X) ≤ ℵ₀.
- Son π-poids πw(X) est le plus petit cardinal d'une π-base, c'est-à-dire d'une famille d'ouverts non vides telle que tout ouvert non vide de X contient un ouvert de cette famille.
Sa densité d(X) est la plus petite cardinalité d'une partie dense. L'espace est dit séparable lorsque d(X) ≤ ℵ₀.
Son nombre de Lindelöf L(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit de Lindelöf lorsque L(X) ≤ ℵ₀.
Sa cellularité (ou son nombre de Suslin (en)) c(X) est le plus petit cardinal κ tel que toute famille d'ouverts non vides deux à deux disjoints est de cardinal inférieur ou égal à κ.
- Sa cellularité héréditaire ou son étalement (en anglais : spread) s(X) est la borne supérieure des cellularités de ses sous-espaces : $s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subset X\}=\sup\{|Z|:Z\subset X~\wedge$ le sous-espace Z est discret $\}.$
Son étroitesse (en anglais : tightness) t(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble de A de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit dénombrablement engendré, ou dénombrablement étroit, lorsque t(X) ≤ ℵ₀.
- Son étroitesse augmentée t(X) est le plus petit cardinal régulier κ tel que tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble de A de cardinal inférieur à κ.

Diverses inégalités relient ces fonctions. Par exemple :

c(X) ≤ d(X) ≤ w(X) ≤ o(X) ≤ 2^|X|, χ(X) ≤ w(X) et L(X) ≤ w(X). Si X est séparé, |X| ≤ 2^c(X)χ(X) et |X| ≤ 2^L(X)χ(X).

Beaucoup de fonctions cardinales d'un espace topologique correspondent par dualité aux fonctions cardinales de son algèbre de fonctions continues ou d'une algèbre de Boole.

Fonctions cardinales d'une algèbre de Boole

Les fonctions cardinales sont souvent utilisées dans l'étude des algèbres de Boole^,.

On peut mentionner par exemple les fonctions suivantes d'une algèbre de Boole B :

sa cellularité c(B), qui est la borne supérieure des cardinaux d'antichaînes de B ;
sa longueur length(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de ses chaînes ;
sa profondeur depth(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de ses parties bien ordonnées ;
son incomparabilité inc(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de familles d'éléments deux à deux incomparables ;
son pseudo-poids π(B), qui est le plus petit cardinal d'une famille d'éléments non nuls de l'algèbre de Boole B telle que tout élément non nul de B est minoré par un élément de cette famille.

Fonctions cardinales en algèbre

Des exemples de fonctions cardinales que l'on considère en algèbre sont :

l'indice d'un sous-groupe H d'un groupe G, qui est le nombre de classes suivant H ;
la dimension d'un espace vectoriel, qui est le cardinal d'une base ;
plus généralement, le rang d'un module libre ;
la codimension d'un sous-espace vectoriel ;
le nombre minimal de générateurs de n'importe quelle structure algébrique, comme les générateurs d'un groupe ou d'un espace vectoriel ;
le degré d'une extension de corps, le degré séparable d'une extension algébrique et le degré de transcendance d'une extension transcendante.

Notes et références

Voir aussi

Liens externes

(en) Apollo Hogan, A Glossary of Definitions from General Topology (ps), UC Berkeley, 2004
(en) Richard E. Hodel, « Combinatorial set theory and cardinal function inequalities », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 111,‎ 1991, p. 567-575 (lire en ligne)